polya.tex

   1 \documentclass{article}
   2
   3 \usepackage{fullpage}
   4 \usepackage{amssymb}
   5 \usepackage{tikz}
   6
   7 % Peano Curve of Polya
   8 \newcounter{polyax}
   9 \newcounter{polyay}
  10 \newcounter{polyaz}
  11 \newcounter{polyap}
  12
  13 \newcommand{\polyafig}[3]{
  14   \coordinate (p0) at (#1);
  15   \coordinate (p1) at +(0:#2);
  16   \coordinate (p2) at (intersection cs:
  17     first line={(p0)--+(60:1)},
  18     second line={(p1)--($(p1)!1!150:(p0)$)});
  19   \draw (p0) -- (p1) -- (p2) --cycle;
  20
  21   \coordinate (p3) at ($(p0)!(p2)!(p1)$);
  22   \draw[densely dotted] (p2) -- (p3);
  23
  24   \setcounter{polyax}{0}
  25   \setcounter{polyay}{2}
  26   \setcounter{polyaz}{1}
  27   \setcounter{polyap}{3}
  28
  29   \foreach \d in {#3} {
  30     \pgfmathtruncatemacro{\x}{\thepolyax}
  31     \pgfmathtruncatemacro{\y}{\thepolyay}
  32     \pgfmathtruncatemacro{\z}{\thepolyaz}
  33
  34     \ifthenelse{\equal{\d}{1}}{
  35       \pgfmathtruncatemacro{\xx}{\y}
  36       \pgfmathtruncatemacro{\zz}{\z}
  37     }{
  38       \pgfmathtruncatemacro{\xx}{\x}
  39       \pgfmathtruncatemacro{\zz}{\y}
  40     }
  41     \pgfmathtruncatemacro{\yy}{\y+1}
  42
  43     \pgfmathtruncatemacro{\v}{\yy+1}
  44     \coordinate (p\v) at
  45       ($(p\xx)!(p\yy)!(p\zz)$);
  46     \draw[densely dotted] (p\yy) -- (p\v);
  47
  48     \setcounter{polyax}{\xx}
  49     \setcounter{polyay}{\yy}
  50     \setcounter{polyaz}{\zz}
  51     \setcounter{polyap}{\v}
  52   }
  53 }
  54
  55 \title{The Peano Curve of P\'olya}
  56 \author{}
  57 \date{}
  58
  59 \begin{document}
  60 \maketitle
  61
  62 A \emph{Peano Curve} is a curve which hits every point in a two-dimensional
  63 object.  Recall that a curve is a continuous function
  64 \[
  65 f : [0,1] \to \mathbb{R}^2.
  66 \]
  67 A famous example of such a curve is due to George P\'olya, which fills a
  68 right-angled triangle.  For $x \in [0,1)$, let $\{a_n\}^\infty_{n=0}$ be the
  69 sequence of digits after the decimal point in its binary expansion.  If there
  70 are multiple binary expansions, either will do (the result is the same).
  71
  72 \end{document}